Posouzení únosnosti předpjatých betonových průřezů při kombinovaném působení vnitřních sil

Proces návrhu mostu lze rozdělit do čtyř základních fází. Začíná prvními skicami a ručními výpočty ve fázi koncepčního návrhu, následuje fáze předběžného návrhu, která má potvrdit proveditelnost zvolené koncepce, a fáze podrobného návrhu, v níž se provádí statická a dynamická analýza. Proces návrhu končí fází realizační dokumentace, v níž se navrhnou postupy výstavby a detaily s ohledem na technologii a zkušenosti dodavatele. Jednotlivé činnosti inženýra jsou ve všech stupních projektu víceméně podobné. Musí vytvořit geometrický model konstrukce včetně geometrie předpínacích kabelů, provést statickou analýzu a zpracovat výkresovou dokumentaci. Model konstrukce je vhodné založit na parametrickém popisu geometrie, aby jej bylo možné v průběhu celého procesu snadno upravovat.

V dnešní době musí být všechny operace procesu navrhování mostů zajištěny v jednom návrhovém nástroji. Podstatnou součástí návrhu nosných prvků je pak posouzení a prokázání bezpečnosti předpjatých betonových průřezů na základě národních norem.

Předpjaté a železobetonové 1D prvky odolávají normálovým a posouvajícím silám, ohybovým a krouticím momentům. Účinky jednotlivých vnitřních sil se vzájemně ovlivňují, v důsledku tahových napětí vznikají trhliny a beton v tlaku se stává plastickým, což vede k nelineární odezvě průřezů. Komplexnost problému je umocněna složitým tvarem mostních průřezů.

Pro zjednodušení problému se v současné praxi stále používají modely založené na oddělení působení ohybu, smyku a krutu. Požadavek na hospodárnější a bezpečnější konstrukce však vyžaduje použití přesnějších řešení. Proto byly v minulosti vypracovány sofistikované nelineární modely založené na metodě konečných prvků, které jsou však velmi složité a plně neodpovídají předpokladům a požadavkům současně platných norem [1], [2]. Proto je potřebný přesný, ale reálně proveditelný model s přiměřenou úrovní složitosti, který je použitelný v praxi a který je zároveň v souladu s platnými normami.

V rámci softwarového nástroje pro navrhování mostů ALLPLAN Civil byly vyvinuty obecné metody pro posouzení únosnosti železobetonových a předpjatých 1D prutů s libovolně tvarovanými průřezy, které jsou vystaveny sdruženému působení vnitřních sil. Metody patří do knihovny specializovaných numerických funkcí modulu DCE [5]. V případě posouzení únosnosti se používají návrhové modely mezního stavu únosnosti (ULS), které zahrnují (a) topologii prvků průřezu, např. jeho betonových částí, předpínací kabely, výztuž, (b) vlastnosti materiálů, jako jsou pracovní diagramy, omezení napětí atd., a © základní podmínky návrhu, jako je kompatibilita přetvoření, součinitele odolnosti pro jednotlivé způsoby porušení atd. Vlastnosti materiálů, předpoklady a podmínky uplatněné v návrhových modelech jsou v souladu s normami [1], [2].

Předpokládejme, že poměrná přetvoření a napětí jsou lineárně závislá na působících vnitřních silách a že platí Navier-Bernoulliho hypotéza o rovinnosti průřezu. Pro smykové a torzní zatížení nelze odpovídající smyková napětí odvodit přímo z geometrie průřezu. Části průřezu, které významně vzdorují jednotlivým způsobům namáhání, lze přímo identifikovat pouze na základě působícího zatížení a geometrie průřezu.

Proto byla na základě rovnic lineární pružnosti a dalších předpokladů pro napěťové pole formulována okrajová úloha a pro její řešení byla vyvinuta numerická metoda s použitím variačního principu. Byl použit přístup uvedený v [3] a [4]. V této metodě jsou smyková přetvoření popsána pomocí deformačních deplanačních funkcí a smyková napětí jsou gradienty těchto deformačních funkcí. Vztažením směrů posouvajících sil ke směrům hlavních os průřezu a krouticích momentů ke středu smyku lze vypočítat metodou konečných prvků tři nezávislá rozložení napětí pro jednotkové posouvající síly (τ_Vy and τ_Vz) a krouticí momenty (τ_T).

Vzhledem k tomu, že rozdělení smykového napětí je vypočteno na základě předpokladu lineární pružnosti, nelze je přímo použít pro vyhodnocení únosnosti ve smyku a kroucení. Lze je však úspěšně použít k určení částí průřezu, které účinně odolávají posouvající síle a kroucení. Následně lze stanovit síly, kterým jednotlivé části vzdorují, a poté použít standardní normové postupy pro posouzení únosnosti.

Geometrie vzdorujících částí se určuje zvlášť pro rozdělení smykového napětí způsobené jednotkovými silami V_y, V_z a krouticím momentem T. Počáteční tvar je odvozen z izolinií intenzity napětí rovné 20 % maximálního napětí. Za účinnou se považuje plocha průřezu uvnitř izolinie. Šířka mezi nejvzdálenějšími body izolinie, měřená kolmo na směr smykového toku, se pak rozšíří na okraje průřezu a vytvoří se konečný tvar (obr. 1). 

Podobně se sestavují i vzdorující části pro kroucení. Naleznou se čtyři izolinie pro záporné a kladné τ_xy,T a τ_xz,T a poté se spojí do jednoho uzavřeného tvaru (obr. 2).

V případě posouvajících sil algoritmus identifikuje části, které účinně odolávají svislým (y) nebo vodorovným (z) posouvajícím silám. V případě, že se více než 80 % účinné plochy překrývá s jinou účinnou plochou (její částí), považuje se za účinnou z hlediska odolnosti proti výslednici sil V_y a V_z integrované přes danou plochu. Parametry pro výpočet smykové odolnosti, jako je účinná výška, rameno vnitřních sil a minimální šířka, se počítají pro každou vzdorující část průřezu zvlášť (obr. 1). Rameno vnitřních sil se vypočítá jako vzdálenost mezi horním a dolním pásem náhradního příhradového modelu promítnutá do střednice vzdorující části. Poloha pásů se předpokládá v těžišti horní a dolní podélné výztuže.

Po určení vzdorujících částí se vypočítají příslušné posouvající síly a krouticí momenty, kterým má každá část průřezu odolávat. Nejprve se integruje lineárně-pružné smykové napětí způsobené jednotkovými silami V_y, V_z, a T v dané vzdorující části. Integrované hodnoty představují části celkové síly, které odolává celý průřez. Protože vzdorující části nepokrývají celou plochu průřezu, je třeba je úměrně zvětšit tak, aby jejich součet dosáhl jednotkové hodnoty. Tímto způsobem se vypočítají součinitele, které představují poměr mezi silou, jíž musí daná část odolávat, a silou, jíž musí odolávat celý průřez. Následně se vynásobením příslušného součinitele a celkové působící síly získají posouvající síly a krouticí momenty, kterým musí každá vzdorující část odolávat.

Směr posouvajících sil působících na vzdorující část se může lišit od směru střednice dané části průřezu. Proto se posouvající síla transformuje do směru střednice, což je směr vzdorující síly (únosnosti). Složka kolmo ke střednici se zanedbává. Nejsou zohledněny ani žádné vlivy způsobené distorzí průřezu, jako je příčný ohyb.

V dalším kroku se určí smyková a podélná výztuž účinná proti smyku a kroucení. Výztuž musí být především umístěna uvnitř vzdorující části. Pokud větve třmínků dosáhnou s určitou přesností polohy horních a dolních pásů, pokládá se zakotvení smykové výztuže za dostatečné. Třmínková výztuž účinná v kroucení musí být uzavřená, musí být uvnitř vnější hranice části vzdorující kroucení a musí obepínat její vnitřní hranici. Kromě toho musí uživatel programu uvést informaci o tom, zda jsou třmínky a podélná výztuž účinné ve smyku a kroucení. Automatická indikace není možná z důvodu zjednodušení používaných v ULS návrhových modelech (např. nelze automaticky vyhodnotit dostatečné překrytí větví třmínků pro kroucení).

Smyková únosnost v diagonální trhlině se snižuje v důsledku sklonu (částí) větví třmínků vzhledem k ose průřezu příčně ke směru posouvající síly. Tento vliv je zohledněn integrací síly v třmíncích pro úhel měnící se podél délky větví třmínků mezi horním a dolním pásem.

V případě, že jsou třmínky uzavřeného tvaru identifikovány jako neúčinné, je proveden pokus o sloučení třmínků do tvaru, který lze považovat za účinný (obr. 3). Všechny třmínky musí mít stejný průměr, vzdálenost a materiál. Proto se tvar výpočtového modelu třmínků může lišit od skutečného tvaru a může se lišit pro síly V_y, V_z, a krouticí moment T.

Norma EN [2] používá Navier-Bernoulliho hypotézu o rovinnosti průřezu pro kombinaci normálové síly a ohybového momentu a model příhradové analogie s proměnným úhlem diagonál pro smyk a kroucení v případě, že se objeví smykové trhliny a síly dosáhnou úrovně vyžadující použití smykové výztuže. Připomeňme, že po vzniku trhlin pod úhlem Ø je únosnost ve smyku zajištěna systémem betonových vzpěr, třmínků a podélné výztuže. Z trojúhelníku sil je možné odvodit tři podmínky rovnováhy elementu se čtyřmi neznámými, kterými jsou: tlakové napětí v betonu, tahová napětí v podélné výztuži a třmíncích a úhel Ø. Běžně používaným řešením je zvolit úhel v rozmezí od 21,8° do 45°. Při známém úhlu Ø lze ostatní neznámé vypočítat z rovnic rovnováhy.

Předpokládá se, že při mezním stavu únosnosti (a) se zanedbá pevnost betonu v tahu, (b) pro beton se použije návrhový parabolicko-rektangulární pracovní diagram a pro nepředpjatou a předpínací výztuž návrhové bilineární pracovní diagramy se zpevněním a c) mezní stav únosnosti nastane, když je dosaženo mezního přetvoření v tlaku v betonu nebo mezního přetvoření v tahu v předpínací nebo nepředpjaté výztuži.

Základem pro posouzení síly v podélné výztuži je odezva průřezu na působící normálovou sílu a ohybové momenty vyjádřená průběhem poměrných přetvoření a napětí po průřezu. Tahová síla (F_s + ΔF_p) způsobená výslednicí posouvající síly a krouticího momentu působícího v příslušné vzdorující části je rovnoměrně rozložena na pruty výztuže nacházející se uvnitř vzdorující části. Tato síla je aplikována prostřednictvím poměrného přetvoření výztuže s ohledem na nelineární vztah napětí – přetvoření výztuže. Proto se na straně bezpečné předpokládá, že beton v tlaku od ohybu není odlehčen tahovou silou způsobenou smykem nebo kroucením. Využití takové tlakové rezervy je totiž sporné, zejména v případě různých úhlů výslednic ohybových momentů a posouvajících sil.

Kromě přetvoření v podélné výztuži se napětí v třmíncích a interakce smyku a kroucení kontroluje pomocí vzorců uvedených v normě [2].

Posouzení únosnosti průřezů při sdruženém působení všech složek vnitřních sil podle normy AASHTO LRFD [1] je založeno na kombinaci dvou modelů. První model představuje jednoosý element zatížený normálovou silou a ohybovými momenty, druhý model je dvouosý element diagonálně porušený trhlinami, který odolává smyku a normálovému napětí v rovině elementu. Topologie dvouosého elementu je dána geometrií části průřezu, která vzdoruje smyku a která je oříznuta kolmo ke střednici elementu v místech taženého a tlačeného pásu (obr. 4). 

Průřez jednoosého elementu je vytvořen tak, aby zohledňoval skutečnost, že beton v dvouosém elementu odolává smyku (obr. 5b).

Základem metody je určení stavu napětí ve dvouosém elementu pomocí modifikované teorie tlakových polí (Modified Compression-Field Theory – MCFT). Model MCFT vede ke třem podmínkám rovnováhy. Podobně jako v normě EN [2] se předpokládá nelineární odezva materiálů. Na rozdíl od normy EN jsou použity dvě podmínky kompatibility přetvoření založené na Mohrově kružnici. Pro předpjatý průřez tedy získáme pět rovnic pro pět neznámých: tlakové napětí v betonu, tahová napětí v podélné výztuži, předpínací výztuži a třmíncích a úhel sklonu tlakových diagonál Ø. Kromě toho se uvažuje tahové napětí v betonu jako průměrné napětí mezi trhlinami a respektuje se změkčení betonu v tlaku vlivem příčného tahu.

Určení odezvy dvouosého elementu s největším průměrným smykovým napětím je prvním krokem řešení. Odhadne se přetvoření v hlavním tahu ε₁ a úhel sklonu tlakových diagonál (vzpěr). Poté se iterací roviny přetvoření vypočítá napětí v třmíncích a odpovídající deformační veličiny, tak aby byla zajištěna rovnováha mezi výslednicí smykového napětí a vnější posouvající silou působící na danou vzdorující část. Poté se vyhodnotí poměrné přetvoření v podélném směru (ε_CEN) ve středu průřezu z podmínky kompatibility přetvoření.

Ve druhém kroku se iteruje křivost φ jednoosého elementu, resp. úhel Ø, tak, aby byla zajištěna rovnováha mezi výslednicí normálového napětí a vnějším ohybovým momentem, resp. normálovou silou působící na celý průřez. Výsledná sada deformačních veličin (ε₁, Ø, φ, ε_CEN) je v souladu s působícími vnitřními silami, ale ještě nevyjadřuje mezní stav průřezu. Volbou jiných hodnot přetvoření v hlavním tahu lze vypočítat různé sady deformačních veličin se stejnými výslednými ohybovými momenty a normálovou silou a různou posouvající silou. Únosnost dvouosého elementu ve smyku při sdruženém působení ostatních vnitřních sil lze pak zjistit jako maximální posouvající sílu vypočtenou pro řadu odhadů přetvoření betonu v hlavním tahu ε₁. S využitím předpokladu Navier-Bernoulliho kompatibility přetvoření se vypočítá poměrné přetvoření betonu v podélném směru dosažené v ostatních dvouosých elementech a ověří se odpovídající napětí v betonu a oceli v důsledku působících posouvajících sil. Pokud jsou kontroly vyhovující, vypočítá se únosnost celého průřezu z odolnosti jeho částí.

Na rozdíl od řešení založeného na EN [2] musí být superpozice výsledných smykových sil způsobených krouticím momentem a posouvající silou provedena ve vzdorující části před spuštěním výše popsaných vnořených iterací. Krouticí moment se převede na efektivní smykovou sílu v každé stěně (vzdorující části). Kromě toho se vzdálenost šikmých trhlin určuje na základě charakteristik podélné a příčné výztuže. Součinitele odolnosti proti smyku a kroucení se použijí přímo na výslednou únosnost průřezu. Když je pro únosnost průřezu rozhodující ohyb, je změna součinitelů odolnosti mezi případy, kdy o porušení rozhoduje mezní přetvoření v tahu a v tlaku respektována zmenšením 3D interakční plochy.

Kromě mnoha dalších testovacích příkladů byly výsledky ověřeny numericky porovnáním s výsledky analýzy symetricky vyztuženého dodatečně předpjatého komorového nosníku zatíženého posouvající a normálovou silou v místě nulového ohybového momentu, jak je uvedeno v [6].

Vzhledem k nedostatku numerických nebo experimentálních dat byla provedena verifikace metody, při které byly výsledky zkušebních příkladů ověřeny vzájemným porovnáním s ohledem na logiku chování průřezu vyplývající z předpokladů řešení. Přitom byly porovnány oba koncepty popsané v předchozích dvou podkapitolách.

Jedním z příkladů je průřez tvaru T se dvěma vrstvami výztuže s plochou výztuže 6 434 mm² v horní a 2 413 mm² ve spodní vrstvě (obr. 5). Aby bylo možné porovnat výhradně metody, předpokládalo se, že všechny součinitele spolehlivosti jsou rovny jedné a vlastnosti materiálů byly považovány za stejné. Pro beton s modulem pružnosti 32 000 MPa byl použit parabolicko-rektangulární pracovní diagram s pevností v tlaku 35 MPa a pevností v tahu 3,5 MPa. Pro výztuž se předpokládal bilineární pracovní diagram se zpevněním, s mezí kluzu 500 MPa a mezí pevnosti 535,8 MPa. Průřez je zatížen kombinací posouvající síly V_y = 2 000 kN a ohybového momentu M_z = ‑3 000 kNm, který táhne horní vlákna. Simuluje tak řez nad vnitřní podporou spojitého nosníku.

Odezva průřezu na působící posouvající sílu a ohybový moment byla vypočtena na základě normy EN [2] a výsledky jsou uvedeny na obr. 5a. Napětí v betonu i ve výztuži může být zvýšeno, proto je zřejmé, že nebylo dosaženo únosnosti průřezu.

V případě výpočtů podle AASHTO LRFD [1] odolává upravený průřez jednoosého elementu ohybovému momentu při stavu napětí znázorněném na obr. 5b. Rozložení napětí způsobené posouvající silou v dvouosém elementu je zdokumentováno na obr. 4. Úroveň poměrných přetvoření a napětí působících na jednoosý element ukazuje, že bylo dosaženo mezního stavu únosnosti.

Jak však bude ukázáno později, působící vnitřní síly stále nepředstavují skutečné mezní zatížení. Statická věta říká, že skutečné mezní zatížení je největší ze všech zatížení, která způsobují staticky přípustné rozložení napětí. Proto můžeme příp. najít jiná rozložení napětí s většími výslednicemi posouvající síly a/​​nebo ohybového momentu.

Průřez však musí být zároveň navržen tak, aby kapacita přetvoření nebyla nikde překročena dříve, než je dosaženo očekávaného rozložení napětí. Ve znění kinematické věty je skutečné mezní zatížení nejmenší ze všech kinematicky přípustných zatížení. Na rozdíl od teorie použité v normě EN [2] může model MCFT navržený podle AASHTO LRFD [1] zaručit splnění těchto podmínek.

Pro zjištění skutečného mezního zatížení ve smyku byla provedena řada výpočtů podle normy AASHTO LRFD, při nichž byla napjatost iterována pro různé hodnoty přetvoření v hlavním tahu. Byly stanoveny výslednice posouvající síly odpovídající každé hodnotě přetvoření v hlavním tahu. Maximální únosnost průřezu ve smyku pak lze zjistit jako maximum těchto výslednic. Nejprve byla vypočtena smyková únosnost průřezu za předpokladu, že současně působí nulový ohybový moment. Závislosti únosnosti betonu ve smyku Vc, únosnosti smykové výztuže Vs a celkové smykové únosnosti Vr na přetvoření v hlavním tahu jsou uvedeny v grafu na obr. 6.

Tento graf znázorňující celkovou únosnost ve smyku V_r jasně ukazuje bod iniciace trhliny s určitým poklesem posouvající síly po vzniku trhliny a její nárůst v důsledku mobilizace výztuže. Maximální únosnost ve smyku je 3 370 kN. Pokles posouvající síly pozorovaný při zvyšování přetvoření v hlavním tahu je způsoben poklesem únosnosti betonu a konstantní plastickou únosností příčné výztuže.

Výslednice celkových posouvajících sil (únosnost ve smyku V_r) pro různé úrovně ohybu jsou znázorněny v grafu na obr. 7. Výslednice posouvající síly odpovídající jednotlivým hodnotám přetvoření v hlavním tahu byly stanoveny pro momenty úměrně zvětšené až do dosažení 80 % momentu únosnosti M_r. Při těchto výpočtech odpovídá rozložení napětí a přetvoření podmínkám rovnováhy i podmínkám plasticity a kompatibility.

Z křivek v grafu na obr. 7 vyplývá, že celková únosnost ve smyku není výrazně ovlivněna současně působícím ohybovým momentem až do dosažení 40 % momentu únosnosti M_r. Pro ohybový moment rovný 20 % M_r je únosnost průřezu ještě o něco vyšší než pro nulový ohybový moment. To je pravděpodobně způsobeno tím, že mírná tlaková rezerva ve středu dvouosého elementu vyvolaná momentem má pozitivní účinek vzhledem k tomu, že úroveň ohybových napětí je ještě daleko od meze kluzu materiálů. Zvýšením momentů na 60 až 80 % M_r se výrazně sníží únosnost průřezu ve smyku, protože materiály musí současně odolávat značnému namáhání v ohybu.

Zlomy v diagramech ukazují postupné dosažení meze kluzu v třmíncích při přetvoření v hlavním tahu 53.10^-4, 51·10^-4, 54·10^-4, 65·10^-4 a 81·10^-4 pro momenty rostoucí od 0 do 80 % M_r.

Podle statické věty a kinematické věty lze skutečné mezní zatížení ve smyku, které odpovídá úrovni působících ohybových momentů, považovat za maximum výslednic posouvajících sil vždy ve vrcholech příslušné křivky znázorněné na obr. 7. Pro hodnoty působících momentů 0 až 100 % M_r byly podle normy EN [2] vypočteny také mezní síly V_r. Na základě těchto hodnot byly sestrojeny grafy na obr. 8. Křivka EN obsahuje také poslední bod, který představuje sílu V_r pro moment rovný meznímu momentu při čistém ohybu.

Podle AASHTO LRFD [1] nelze tuto hodnotu posouvající síly V_r zjistit, protože momentová únosnost jednoosého elementu, který odolává ohybu, se sníží odečtením plochy dvouosého elementu od celkové plochy průřezu. Uvědomme si, že dvouosý element je využit pro přenesení posouvající síly. Konkrétně ve výše uvedeném příkladu o únosnosti v ohybu rozhoduje pevnost betonu v tlaku. Proto se po zmenšení plochy tlačené zóny sníží únosnost jednoosého elementu v ohybu a iterace pro dosažení rovnováhy výslednice normálového napětí a vnějšího ohybového momentu selže.

Byly vyvinuty numerické modely pro posouzení únosnosti 1D předpjatých betonových nosných prvků zatížených kombinací složek vektoru vnitřních sil. Metoda vychází z aktuálně platných norem EN [2] a AASHTO LRFD [1] a je vhodná pro reálné průřezy mostů libovolného tvaru.

Pro různé úrovně ohybových momentů při současném působení posouvající síly a ohybového momentu byla vypočtena únosnost železobetonového průřezu tvaru T ve smyku. Byl prokázán význam posouzení vzájemného spolupůsobení všech složek vnitřních sil. Po nárůstu momentů na 60 až 80 % momentu únosnosti klesá únosnost průřezu ve smyku na přibližně 87 až 75 % ve srovnání s únosností dosaženou při nulovém nebo zanedbatelném ohybovém momentu (pod 40 % únosnosti).

Byly porovnány maximální únosnosti železobetonového T průřezu ve smyku vypočtené podle předpokladů platných v současných normách EN [2] a AASHTO LRFD [1]. Řešení podle normy EN nerespektuje podmínky kompatibility přetvoření v částech průřezu vzdorujících smyku. Kromě toho žádné ustanovení EN nezohledňuje skutečnost, že beton té části průřezu, která vzdoruje smyku, je zároveň zatížen ohybem v tlaku, a proto je jeho schopnost odolávat ohybu omezená.

Přesto je únosnost průřezu ve smyku vypočtená podle předpisu AASHTO LRFD vyšší pro všechny varianty působících vnitřních sil, při kterých je nalezena rovnováha v ohybu. Důvodem je značná smyková únosnost tlačené části betonového průřezu, která je v normě EN systematicky zanedbávána. Únosnost ve smyku podle EN nedosahuje úrovně AASHTO LRFD ani po zvýšení množství smykové a podélné výztuže, a to z důvodu nedostatečné únosnosti betonové vzpěry.